1단계: 진수 조건과 변형
진수 조건에서 \(x\gt1\)이다. 제시문 [가]에 의하여 \(\log_2(x-1)(x+3)\le\log_2 32\)이고 밑이 \(1\)보다 크므로 \((x-1)(x+3)\le32\)이다.

2단계: 정수의 개수
\(x^2+2x-35\le0\), \((x+7)(x-5)\le0\)에서 \(-7\le x\le5\)이고 \(x\gt1\)과 합치면 \(1\lt x\le5\)이다. 정수는 \(2,3,4,5\)의 \(\mathbf{4}\)개이다.

3단계: 밑의 변환
\(a=\log_236, b=\log_336\)이므로 제시문 [나]에 의하여 \(\dfrac1a+\dfrac1b=\log_{36}2+\log_{36}3=\log_{36}6=\mathbf{\frac12}\)이다.

최종 정답: (1) \(4\)개 (2) \(\frac12\)

1단계: 연속 조건
\(x=1\)에서 연속이므로 \(a+b=2-1=1\)이다.

2단계: 미분계수 조건
좌미분계수 \(2a+b\)와 우미분계수 \(6\)이 같으므로 \(2a+b=6\)이다. 연립하면 \(a=5, b=-4\)이다.

3단계: 최대·최소
\([0,1)\)에서 \(f(x)=5x^2-4x\)는 \(x=\frac25\)에서 최솟값 \(-\frac45\), \([1,2]\)에서 \(f(x)=2x^3-1\)은 증가하여 \(f(2)=15\)이다. \(f(0)=0, f(1)=1\)과 비교하면 최댓값 \(\mathbf{15}\), 최솟값 \(\mathbf{-\frac45}\)이다.

최종 정답: (1) \(a=5, b=-4\) (2) 최댓값 \(15\), 최솟값 \(-\frac45\)

1단계: 전확률
\(\mathrm{P}(\text{흰})=\frac12\cdot\frac25+\frac12\cdot\frac45=\frac35\)이다.

2단계: 조건부확률
\(\mathrm{P}(A\cap\text{흰})=\frac15\)이므로 제시문 [가]에 의하여 \(\dfrac{1/5}{3/5}=\mathbf{\frac13}\)이다.

3단계: 독립시행
공을 다시 넣으므로 각 시행은 독립이고 흰 공일 확률은 \(\frac35\)이다. 제시문 [나]에 의하여 \({}_3\mathrm{C}_2\left(\frac35\right)^2\frac25=\mathbf{\frac{54}{125}}\)이다.

최종 정답: (1) \(\frac35\) (2) \(\frac13\) (3) \(\frac{54}{125}\)

1단계: 도함수
제시문 [가]에 의하여 \(g'(x)=f(x+1)-f(x)=(x+1)^2-4(x+1)-x^2+4x=2x-3\)이다.

2단계: 최소가 되는 \(x\)
\(g'(x)\)는 \(x=\frac32\)의 좌우에서 음에서 양으로 바뀌므로 \(x=\frac32\)에서 최소이다.

3단계: 최솟값
\(g\left(\frac32\right)=\left[\frac{t^3}{3}-2t^2\right]_{3/2}^{5/2}=\left(\frac{125}{24}-\frac{25}{2}\right)-\left(\frac{27}{24}-\frac92\right)=\mathbf{-\frac{47}{12}}\)이다.

최종 정답: (1) \(g'(x)=2x-3\) (2) \(x=\frac32\)일 때 최솟값 \(-\frac{47}{12}\)